Moore-Penrose 逆矩阵中关于欠定和超定方程

之前我们看到了在一致性方程中如何去解Moore-Penrose逆矩阵的四种方法，但除此之外，我们还有很多非一致性方程的情形，这要求我们得去做讨论。

非一致方程的最小范数最小二乘解

我们在之前广义逆矩阵一节中讲到了一致方程的最小范数解 和非一致方程的最小二乘解。
但是我们要注意，最小二乘解非唯一，我们要在其中找到一个范数最小的解，我们将其称为非一致方程的最小范数最小二乘解(minimun norm least squares solution)，我们也称其为半范数(seminorm)最小二乘解

定义

对于非一致方程 $ A_{m \times n} x_{n \times 1} = y_{m \times 1} $ ，如果矩阵 $ G $ 满足条件：

$$ \lVert Gy \rVert _n \leq \lVert \hat{x} \rVert _n ,其中 \forall \hat{x} \in \lbrace \hat{x}: \lVert A\hat{x}-y \rVert _m \leq \lVert Az-y \rVert _m \quad \forall y \in R^m, z \in R \rbrace $$

则称矩阵 $ G $ 为 $ A $ 的最小范数最小二乘广义逆矩阵

「注意」

• 在上式中我们将 $ \lVert \cdot \rVert _n $ 和 $ \lVert \cdot \rVert _m $ 称为在 $ R^n $ 和 $ R_m $ 上的范数（半范数）；
• 而花括号 $ \lbrace \cdot \rbrace $ 表示一致方程 $ Ax = y $ 的最小二乘解。
• 而 $ \lVert Gy \rVert _n \leq \lVert \hat{x} \rVert _n $ 表示 $ Gy $ 是在所有最小二乘解中范数最小的那个解。